Spirale aurea e spirale di Fibonacci: non sono la stessa curva.

Due modi di disegnare una spirale

La spirale di Fibonacci è quella che tutti hanno visto. Si disegna un quadrato, se ne mette accanto uno uguale, poi un quadrato di lato 2 contro la coppia, poi 3, 5, 8, 13, 21 — ogni nuovo quadrato lungo quanto i due precedenti insieme — e in ogni quadrato si traccia un quarto di cerchio, da angolo ad angolo. Bastano riga, compasso e una decina di minuti, ed è per questo che sta in ogni libro di scuola e su ogni moodboard. Il secondo disegno qui sopra è quella costruzione, con i punti di giunzione segnati.

La spirale aurea non si disegna: si calcola. È la spirale logaritmica che cresce esattamente di φ = 1,618 a ogni quarto di giro, scritta r = a·φ^(2θ/π). Nessun compasso la produce, perché il suo raggio non è costante nemmeno sul tratto più breve: la curva si stringe in ogni punto, e la velocità con cui si stringe è a sua volta costante. Il primo disegno qui sopra è quella curva, tracciata dalla formula dentro un rettangolo aureo, con le due diagonali che si incrociano nel suo polo.

A colpo d’occhio sembrano uguali. Non lo sono, e la differenza non è pedanteria: è la differenza tra una curva che viene disegnata e una curva che cresce.

Dove differiscono, misurato

Messe nello stesso rettangolo, lo scarto si vede solo se lo si cerca. È l’immagine onesta, quindi eccola.

Tre righe di quella tabella contano più delle altre. La crescita della spirale di Fibonacci è un elenco di rapporti tra numeri di Fibonacci vicini, e l’elenco converge a φ ma lo raggiunge solo all’infinito; alla scala di un disegno gli archi sono un filo troppo tondi nei quadrati grandi e un filo troppo stretti in quelli piccoli. La sua curvatura è costante dentro ogni quadrato e cambia solo sui lati, ed è esattamente questo che è una giuntura. E ha una fine: due quadrati unitari, poi niente. La spirale aurea non ha nulla di tutto ciò. È il limite a cui il disegno di Fibonacci tende.

Le due curve vengono dallo stesso posto — la successione 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, i cui rapporti tra termini vicini si assestano su φ. I quadrati rendono visibile la successione; la formula rende visibile il limite. Se la successione stessa è nuova per voi, partite da la successione di Fibonacci spiegata e tornate qui: le spirali hanno più senso quando ce l’hanno i numeri.

Perché la differenza conta a parete

Alle dimensioni dello schermo di un telefono le due curve non si distinguono, e per un diagramma va benissimo. A un metro di larghezza, le giunture di una spirale di Fibonacci si vedono come lievi cambi di passo a ogni quarto di giro: la linea è un quarto di cerchio, poi un quarto di cerchio più piccolo, e l’occhio, che riconosce i cerchi molto bene, registra ogni cambio come un piccolo evento. Una curva disegnata si legge come un disegno.

Una vera spirale aurea non ha eventi. La sua curvatura cambia con continuità, quindi niente sulla linea chiede all’occhio di fermarsi, ed è in gran parte questo che si intende quando si dice che una spirale calma. Per questo le opere di questo sito sono costruite sulla curva calcolata, non su quella del compasso. The Golden Nautilus II è disegnata sulla spirale logaritmica con i quadrati di Fibonacci lasciati visibili come impalcatura — le due curve fianco a fianco, come nella figura sopra, così che la costruzione si possa verificare col righello. The Sovereign Ledger fa lo stesso alla maniera del quaderno, con i numeri sulla pagina.

La stessa distinzione chiude la questione del nautilus. La conchiglia è una spirale logaritmica liscia, ed è per questo che sembra giusta; ma cresce di circa 3 per giro invece di 6,85, quindi non è una spirale aurea, e di certo non è una spirale di Fibonacci. L’ho misurato a parte in La conchiglia del nautilus è davvero una spirale aurea?

Quale usare?