Espiral áurea y espiral de Fibonacci: no son la misma curva.

Dos maneras de dibujar una espiral

La espiral de Fibonacci es la que todo el mundo ha visto. Se dibuja un cuadrado, se pone otro del mismo tamaño al lado, luego un cuadrado de lado 2 contra el par, luego 3, 5, 8, 13, 21 —cada cuadrado nuevo tan largo como los dos anteriores juntos— y por cada cuadrado se pasa un cuarto de círculo, de esquina a esquina. Hacen falta regla, compás y unos diez minutos, y por eso está en todos los libros de texto y en todos los moodboards. El segundo dibujo de arriba es esa construcción, con las uniones marcadas.

La espiral áurea no se dibuja; se calcula. Es la espiral logarítmica que crece exactamente φ = 1,618 en cada cuarto de vuelta, escrita r = a·φ^(2θ/π). Ningún compás la produce, porque su radio no es constante ni en el tramo más corto: la curva se cierra en cada punto, y el ritmo al que se cierra es, a su vez, constante. El primer dibujo de arriba es esa curva, trazada desde la fórmula dentro de un rectángulo áureo, con las dos diagonales que se cruzan en su polo.

A simple vista parecen iguales. No lo son, y la diferencia no es pedantería: es la diferencia entre una curva que se dibuja y una curva que crece.

Dónde difieren, medido

Puestas en un mismo rectángulo, la separación solo se ve si se busca. Esa es la imagen honesta, así que aquí está.

Tres filas de esa tabla importan más que el resto. El crecimiento de la espiral de Fibonacci es una lista de razones entre números de Fibonacci vecinos, y la lista converge a φ pero solo lo alcanza en el infinito; a la escala de un dibujo, los arcos son una pizca demasiado redondos en los cuadrados grandes y una pizca demasiado cerrados en los pequeños. Su curvatura es constante dentro de cada cuadrado y solo cambia en los bordes, y eso es exactamente una costura. Y tiene un final: dos cuadrados unidad, y después nada. La espiral áurea no tiene nada de eso. Es el límite al que apunta el dibujo de Fibonacci.

Las dos curvas vienen del mismo sitio: la sucesión 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, cuyas razones entre términos vecinos se asientan en φ. Los cuadrados hacen visible la sucesión; la fórmula hace visible el límite. Si la sucesión en sí es nueva para usted, empiece por la sucesión de Fibonacci explicada y vuelva: las espirales tienen más sentido cuando lo tienen los números.

Por qué la diferencia importa en una pared

Al tamaño de la pantalla de un teléfono no se distinguen las curvas, y para un diagrama está bien. A un metro de ancho, las costuras de una espiral de Fibonacci se ven como leves cambios de ritmo en cada cuarto de vuelta: la línea es un cuarto de círculo, luego un cuarto de círculo más pequeño, y el ojo, que reconoce muy bien los círculos, registra cada cambio como un pequeño acontecimiento. Una curva dibujada se lee como un dibujo.

Una verdadera espiral áurea no tiene acontecimientos. Su curvatura cambia de forma continua, así que nada en la línea le pide al ojo que se detenga, y eso es casi todo lo que se quiere decir cuando se llama serena a una espiral. Por eso las obras de este sitio están construidas sobre la curva calculada, no sobre la del compás. The Golden Nautilus II está dibujada sobre la espiral logarítmica con los cuadrados de Fibonacci dejados a la vista como andamio —las dos curvas lado a lado, como en la figura de arriba— para que la construcción pueda comprobarse con una regla. The Sovereign Ledger hace lo mismo a la manera de un cuaderno, con los números en la página.

La misma distinción zanja la cuestión del nautilo. La concha es una espiral logarítmica lisa, y por eso parece correcta; pero crece alrededor de 3 por vuelta en lugar de 6,85, así que no es una espiral áurea, y desde luego no es una de Fibonacci. Lo he medido aparte en ¿Es la concha del nautilo realmente una espiral áurea?

¿Cuál usar?