Goldene Spirale vs. Fibonacci-Spirale: es ist nicht dieselbe Kurve.

Zwei Arten, eine Spirale zu zeichnen

Die Fibonacci-Spirale kennt jeder. Man zeichnet ein Quadrat, setzt ein gleich großes daneben, dann ein Quadrat der Seitenlänge 2 an das Paar, dann 3, 5, 8, 13, 21 — jedes neue Quadrat so lang wie die beiden davor zusammen — und zieht durch jedes Quadrat einen Viertelkreis von Ecke zu Ecke. Man braucht Lineal, Zirkel und etwa zehn Minuten, und genau deshalb steht sie in jedem Schulbuch und auf jedem Moodboard. Die zweite Zeichnung oben ist diese Konstruktion, mit markierten Übergängen.

Die goldene Spirale wird nicht gezeichnet, sondern berechnet. Sie ist die logarithmische Spirale, die mit jeder Vierteldrehung um genau φ = 1,618 wächst, geschrieben r = a·φ^(2θ/π). Kein Zirkel bringt sie hervor, denn ihr Radius ist nicht einmal auf dem kürzesten Stück konstant: Die Kurve zieht sich an jedem Punkt enger, und die Rate, mit der sie das tut, ist ihrerseits konstant. Die erste Zeichnung oben ist diese Kurve, aus der Formel in ein goldenes Rechteck gezeichnet, mit den beiden Diagonalen, die sich in ihrem Pol kreuzen.

Auf den ersten Blick sehen sie gleich aus. Sie sind es nicht, und der Unterschied ist keine Pedanterie: Es ist der Unterschied zwischen einer Kurve, die gezeichnet wird, und einer Kurve, die wächst.

Wo sie sich unterscheiden, gemessen

Legt man beide in ein Rechteck, sieht man die Lücke nur, wenn man danach sucht. Das ist das ehrliche Bild, also hier ist es.

Drei Zeilen dieser Tabelle zählen mehr als der Rest. Das Wachstum der Fibonacci-Spirale ist eine Liste von Verhältnissen benachbarter Fibonacci-Zahlen, und diese Liste strebt gegen φ, erreicht es aber erst im Unendlichen; im Maßstab einer Zeichnung sind die Bögen in den großen Quadraten eine Spur zu rund und in den kleinen eine Spur zu eng. Ihre Krümmung ist in jedem Quadrat konstant und ändert sich nur an den Kanten — genau das ist eine Nahtstelle. Und sie hat ein Ende: zwei Einheitsquadrate, danach nichts. Die goldene Spirale hat nichts davon. Sie ist der Grenzwert, auf den die Fibonacci-Zeichnung zusteuert.

Beide Kurven kommen aus derselben Quelle — der Folge 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, deren benachbarte Verhältnisse sich bei φ einpendeln. Die Quadrate machen die Folge sichtbar, die Formel macht den Grenzwert sichtbar. Wenn die Folge selbst neu für Sie ist, beginnen Sie mit der Fibonacci-Folge, erklärt und kommen Sie zurück; die Spiralen ergeben mehr Sinn, sobald die Zahlen es tun.

Warum der Unterschied an der Wand zählt

In der Größe eines Handydisplays kann man die Kurven nicht auseinanderhalten, und für ein Diagramm ist das in Ordnung. Bei einem Meter Breite sind die Nahtstellen einer Fibonacci-Spirale als leichte Tempowechsel bei jeder Vierteldrehung zu sehen: Die Linie ist ein Viertelkreis, dann ein kleinerer Viertelkreis, und das Auge, das Kreise sehr gut erkennt, registriert jeden Wechsel als kleines Ereignis. Eine gezeichnete Kurve liest sich als Zeichnung.

Eine echte goldene Spirale hat keine Ereignisse. Ihre Krümmung ändert sich stetig, nichts auf der Linie bittet das Auge anzuhalten — und das ist der größte Teil dessen, was gemeint ist, wenn man eine Spirale beruhigend nennt. Deshalb sind die Werke auf dieser Seite auf der berechneten Kurve konstruiert, nicht auf der Zirkelkurve. The Golden Nautilus II ist auf der logarithmischen Spirale gezeichnet, die Fibonacci-Quadrate bleiben als Gerüst sichtbar — beide Kurven nebeneinander wie in der Grafik oben, damit die Konstruktion mit dem Lineal nachgeprüft werden kann. The Sovereign Ledger tut dasselbe in der Art eines Notizbuchs, mit den Zahlen auf dem Blatt.

Dieselbe Unterscheidung klärt auch die Nautilus-Frage. Die Schale ist eine glatte logarithmische Spirale, deshalb sieht sie richtig aus; aber sie wächst pro Drehung etwa um den Faktor 3 statt 6,85, ist also keine goldene Spirale und erst recht keine Fibonacci-Spirale. Das habe ich gesondert nachgemessen in Ist die Nautilus-Schale wirklich eine goldene Spirale?

Welche sollte man verwenden?