GUIDES · LA GÉOMÉTRIE
Spirale d’or et spirale de Fibonacci : ce n’est pas la même courbe.
L’une est une spirale logarithmique lisse qui grandit de 1,618 à chaque quart de tour. L’autre est une chaîne de quarts de cercle tracés dans des carrés de Fibonacci, qui ne fait que s’en approcher. Les deux sont belles ; une seule est celle que l’on désigne en disant « la spirale d’or » — et la différence décide de la façon dont une œuvre est dessinée.
Deux façons de dessiner une spirale
La spirale de Fibonacci, tout le monde l’a vue. On dessine un carré, on en pose un autre de même taille à côté, puis un carré de côté 2 contre la paire, puis 3, 5, 8, 13, 21 — chaque nouveau carré aussi long que les deux précédents réunis — et l’on fait passer dans chaque carré un quart de cercle, d’un coin à l’autre. Il faut une règle, un compas et une dizaine de minutes, et c’est pourquoi elle figure dans tous les manuels et sur tous les moodboards. Le second dessin ci-dessus est cette construction, avec les points de raccord marqués.
La spirale d’or ne se dessine pas ; elle se calcule. C’est la spirale logarithmique qui grandit d’exactement φ = 1,618 à chaque quart de tour, écrite r = a·φ^(2θ/π). Aucun compas ne la produit, car son rayon n’est jamais constant, même sur le plus court segment : la courbe se resserre en chaque point, et la vitesse à laquelle elle se resserre est, elle, constante. Le premier dessin ci-dessus est cette courbe, tracée à partir de la formule dans un rectangle d’or, avec les deux diagonales qui se croisent en son pôle.
Au premier coup d’œil, elles se ressemblent. Elles ne sont pas identiques, et la différence n’est pas de la pédanterie : c’est la différence entre une courbe que l’on dessine et une courbe qui croît.
Où elles diffèrent, mesuré
Placées dans un même rectangle, l’écart ne se voit que si on le cherche. C’est l’image honnête, la voici donc.
| Spirale d’or | Spirale de Fibonacci | |
|---|---|---|
| La courbe | Logarithmique : r = a·φ^(2θ/π) | Des arcs de quart de cercle, un par carré |
| Croissance par quart de tour | Exactement 1,618, partout | 1, 2, 1,5, 1,667, 1,6, 1,625, 1,615 … → 1,618 |
| Courbure | Change continûment, ne saute jamais | Constante dans chaque carré, saute à chaque bord |
| Centre | Aucun : un pôle dont elle s’approche sans fin | Le premier carré 1 × 1, où elle se termine |
| Se trace au compas | Non | Oui |
| Sert à | La construction, les calques, les œuvres RAGANA | Expliquer l’idée ; le dessin célèbre |
Trois lignes de ce tableau comptent plus que les autres. La croissance de la spirale de Fibonacci est une liste de rapports entre nombres de Fibonacci voisins, et cette liste converge vers φ sans l’atteindre autrement qu’à l’infini ; à l’échelle d’un dessin, les arcs sont un soupçon trop ronds dans les grands carrés et un soupçon trop serrés dans les petits. Sa courbure est constante dans chaque carré et ne change qu’aux bords, et c’est exactement cela, un raccord. Et elle a une fin : deux carrés unité, puis rien. La spirale d’or n’a rien de tout cela. Elle est la limite vers laquelle tend le dessin de Fibonacci.
Les deux courbes viennent du même endroit — la suite 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, dont les rapports entre termes voisins se fixent sur φ. Les carrés rendent la suite visible ; la formule rend la limite visible. Si la suite elle-même vous est nouvelle, commencez par la suite de Fibonacci expliquée et revenez : les spirales prennent leur sens une fois que les nombres ont le leur.
Pourquoi la différence compte sur un mur
À la taille d’un écran de téléphone, on ne distingue pas les deux courbes, et pour un schéma cela suffit. À un mètre de large, les raccords d’une spirale de Fibonacci se voient comme de légers changements d’allure à chaque quart de tour : la ligne est un quart de cercle, puis un quart de cercle plus petit, et l’œil, qui reconnaît très bien les cercles, enregistre chaque bascule comme un petit événement. Une courbe dessinée se lit comme un dessin.
Une vraie spirale d’or n’a pas d’événements. Sa courbure change continûment, rien sur la ligne ne demande à l’œil de s’arrêter, et c’est l’essentiel de ce que l’on veut dire quand on trouve une spirale apaisante. C’est pourquoi les œuvres de ce site sont construites sur la courbe calculée, et non sur celle du compas. The Golden Nautilus II est dessinée sur la spirale logarithmique, les carrés de Fibonacci laissés visibles comme un échafaudage — les deux courbes côte à côte, comme dans la figure ci-dessus, pour que la construction se vérifie à la règle. The Sovereign Ledger fait de même à la manière d’un carnet, avec les nombres sur la page.
La même distinction règle la question du nautile. La coquille est une spirale logarithmique lisse, et c’est pour cela qu’elle paraît juste ; mais elle grandit d’environ 3 par tour au lieu de 6,85, ce n’est donc pas une spirale d’or, et certainement pas une spirale de Fibonacci. Je l’ai mesuré à part dans La coquille du nautile est-elle vraiment une spirale d’or ?
Laquelle utiliser ?
Les carrés montrent pourquoi le rapport apparaît — chaque nombre est la somme des deux précédents — et la construction se fait à la main en dix minutes. Tout le monde devrait la dessiner une fois.
En calque sur une photographie, c’est une question, pas une preuve ; essayez les quatre orientations avant de décider qu’une image « tombe juste ». Le nombre d’or en photographie montre où va réellement le sujet.
Si une œuvre doit paraître continue, sa spirale doit l’être. Cherchez le pôle : une vraie spirale d’or se resserre vers un point sans jamais l’atteindre ; une spirale de Fibonacci s’arrête, tout simplement.
Questions
La spirale de Fibonacci est-elle la même chose que la spirale d’or ?
Non. La spirale de Fibonacci est une chaîne de quarts de cercle tracés dans des carrés de Fibonacci ; la spirale d’or est une courbe logarithmique lisse qui grandit de 1,618 à chaque quart de tour. La spirale de Fibonacci approche la spirale d’or, d’autant mieux qu’elle est dessinée grande, mais les deux ne coïncident jamais.
Laquelle est la « vraie » spirale d’or ?
La logarithmique, r = a·φ^(2θ/π). Quand un mathématicien dit spirale d’or, c’est cette courbe qu’il désigne. La construction de Fibonacci est la façon habituelle d’en dessiner une approximation à la main.
La coquille du nautile est-elle une spirale de Fibonacci ?
Non. Le nautile est une spirale logarithmique, comme la spirale d’or, mais avec un taux de croissance plus faible : environ 3 par tour au lieu de 6,85. Il n’est ni d’or ni de Fibonacci.
Est-ce important, celle que j’utilise comme calque ?
Pour la composition, à peine : en trois ou quatre tours, les courbes tiennent dans l’épaisseur d’un trait. Pour tout ce qui s’imprime en grand, la spirale d’or est celle qui n’a pas de raccords.
Sur quelle spirale les œuvres RAGANA sont-elles dessinées ?
Sur la spirale d’or, calculée, les carrés de Fibonacci souvent laissés visibles pour que la construction se vérifie à la règle.
Pour un mur dont vous êtes responsable.
Décrivez-moi la pièce et l’atmosphère que vous voulez lui donner. Je vous enverrai trois œuvres qui conviennent, et une simulation de chacune en place.
Écrivez-moi