La suite de Fibonacci, expliquée en six carrés.

La suite et d’où elle vient

La suite de Fibonacci est 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 et ainsi de suite à l’infini. La règle est la plus simple qui soit : chaque nombre est la somme des deux qui le précèdent. Léonard de Pise — surnommé Fibonacci, « fils de Bonacci » — l’a publiée en 1202 dans un livre d’arithmétique, comme réponse à une énigme sur la vitesse à laquelle un couple de lapins se multiplierait. L’énigme est sotte ; la suite, elle, ne l’était pas. Les savants indiens la connaissaient des siècles plus tôt grâce aux rythmes de la poésie sanskrite, ce qui est une meilleure histoire d’origine, mais le nom est resté.

Ce qui fait de la suite plus qu’une curiosité, c’est ce qui se passe quand on divise chaque nombre par celui qui le précède. 3 ÷ 2 donne 1,5. 5 ÷ 3 donne 1,667. 8 ÷ 5 donne 1,6. 13 ÷ 8 donne 1,625. 21 ÷ 13 donne 1,615. Les résultats oscillent d’un côté et de l’autre, chaque fois plus près, autour d’une seule valeur : 1,618, le nombre d’or. La suite, c’est le rapport qui arrive en nombres entiers. Allez assez loin et l’écart devient plus petit que ce qu’aucune règle ne peut montrer.

Le dessiner : six carrés

Prenez une feuille de papier et dessinez un petit carré — appelons son côté une unité ; un centimètre fera l’affaire. Dessinez un deuxième carré de la même taille juste à côté. Ensemble, ils forment un rectangle de deux unités de large sur une de haut. Dessinez maintenant un carré sur le grand côté de ce rectangle : deux unités de côté. Vous avez un rectangle de trois sur deux. Dessinez un carré sur son grand côté, trois unités ; puis cinq ; puis huit. Chaque nouveau carré s’appuie contre le grand côté de tout ce qui a été dessiné jusque-là, et son côté est toujours la somme des deux carrés qui le précèdent. C’est la suite, dessinée au lieu d’être écrite.

• Carré 1 : 1 unité. Carré 2 : 1 unité, à côté.
• Carré 3 : 2 unités, au-dessus de la paire.
• Carré 4 : 3 unités, sur le côté.
• Carré 5 : 5 unités, en dessous.
• Carré 6 : 8 unités, sur le côté — le rectangle fait maintenant 13 × 8.

Regardez le rectangle obtenu après six carrés : 13 sur 8. Divisez : 1,625. Après le septième, ce serait 21 sur 13, soit 1,615. Le rectangle est en train de devenir un rectangle d’or — la seule forme qui, lorsqu’on découpe un carré à l’une de ses extrémités, laisse un rectangle plus petit exactement de la même proportion. Cette propriété est toute la raison pour laquelle le rapport compte en design : c’est la seule proportion qui survit à sa propre subdivision.

D’où vient la spirale

Prenez maintenant un compas. Dans chaque carré, tracez un quart de cercle d’un coin au coin opposé, en choisissant les coins de façon que chaque arc prolonge le précédent. La courbe qui apparaît, traversant les six carrés, est la spirale d’or. Personne ne l’a dessinée ; elle est sortie des carrés. Elle se resserre vers un point qu’elle n’atteint jamais — l’« œil » de la spirale, qui dans un rectangle d’or se trouve au croisement des deux diagonales — et à chaque quart de tour elle est 1,618 fois plus large qu’au précédent.

C’est l’image d’où part la plupart de mon travail. The Sovereign Ledger est le dessin avec tout laissé en place : six carrés, les nombres dans les marges, les arcs, les lignes réglées. The Celestial Blueprint remplit les mêmes carrés d’horlogerie. The Tectonic Fibonacci écarte les carrés comme s’ils étaient des plaques de pierre et laisse la spirale les tenir ensemble. Dans chaque cas, la suite est le sujet ; l’image est ce qui est construit dessus.

Pourquoi les plantes comptent en Fibonacci

La suite serait un jouet de mathématicien si elle ne réapparaissait pas sans cesse dans les jardins. Coupez un ananas et comptez les rangées diagonales d’écailles : 8 dans un sens, 13 dans l’autre. Une pomme de pin : 8 et 13, ou 5 et 8. Un tournesol : 34 et 55. Les nombres de pétales vont 3, 5, 8, 13, 21. Ce n’est ni une coïncidence ni du mysticisme ; c’est de l’empilement. Une plante ajoute chaque nouvelle feuille ou graine à un angle fixe de la précédente, et l’angle qui les range sans laisser de vide est 137,5 degrés — un tour complet divisé par le nombre d’or. Placez des points à cet angle et les spirales que votre œil trouve dans le résultat viennent toujours par paires de Fibonacci. The Sovereign Garden est cette règle transformée en image.

L’utiliser dans un tirage

La construction se met à l’échelle. Si vous voulez qu’un tirage construit sur la suite tienne sur un vrai mur, choisissez l’unité de façon que le carré de 8 unités s’inscrive dans l’espace. Un tirage de 100 cm de large avec une composition 13 × 8 a une unité d’environ 7,7 cm ; le plus grand carré fait 62 cm, le plus petit moins de 8. C’est à peu près ainsi que les œuvres présentées ici sont composées, et c’est pourquoi l’œil y trouve un point de repos à environ 38 pour cent d’un bord — la section dorée de la largeur — plutôt qu’en plein centre. Si vous voulez vérifier l’une d’elles, imprimez la page, mesurez à la règle le plus grand carré et le suivant, et divisez. Vous obtiendrez 1,6 et quelques.

Voilà tout. Une règle qu’on peut énoncer en un souffle, un dessin qu’on peut faire en cinq minutes, une proportion qui se conserve en grandissant, et une raison — l’empilement — pour laquelle les êtres vivants y arrivent sans qu’on le leur dise. Tout le reste de ce site est construit sur ces six carrés.