A sequência de Fibonacci, explicada em seis quadrados.

A sequência e de onde ela veio

A sequência de Fibonacci é 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 e assim por diante, para sempre. A regra é a mais simples que existe: cada número é a soma dos dois anteriores. Leonardo de Pisa — apelidado Fibonacci, “filho de Bonacci” — publicou-a em 1202 em um livro de aritmética, como resposta a um enigma sobre a rapidez com que um casal de coelhos se multiplicaria. O enigma é bobo; a sequência, descobriu-se, não é. Estudiosos indianos já a conheciam séculos antes, pelos ritmos da poesia sânscrita, o que é uma história de origem melhor, mas o nome pegou.

O que torna a sequência mais do que uma curiosidade é o que acontece quando você divide cada número pelo anterior. 3 ÷ 2 é 1,5. 5 ÷ 3 é 1,667. 8 ÷ 5 é 1,6. 13 ÷ 8 é 1,625. 21 ÷ 13 é 1,615. As respostas oscilam de um lado para o outro, cada vez mais perto, em torno de um único valor: 1,618, a proporção áurea. A sequência é a proporção chegando em números inteiros. Vá longe o bastante e a diferença é menor do que qualquer régua consegue mostrar.

Desenhando: seis quadrados

Pegue uma folha de papel e desenhe um quadrado pequeno — chame seu lado de uma unidade; um centímetro serve. Desenhe um segundo quadrado do mesmo tamanho logo ao lado. Juntos formam um retângulo de duas unidades de largura por uma de altura. Agora desenhe um quadrado sobre o lado maior desse retângulo: duas unidades de lado. Você tem um retângulo de três por dois. Desenhe um quadrado sobre seu lado maior, três unidades; depois cinco; depois oito. Cada novo quadrado se apoia no lado maior de tudo o que foi desenhado até então, e seu lado é sempre a soma dos dois quadrados anteriores. Essa é a sequência, desenhada em vez de escrita.

• Quadrado 1: 1 unidade. Quadrado 2: 1 unidade, ao lado.
• Quadrado 3: 2 unidades, sobre o par.
• Quadrado 4: 3 unidades, ao lado.
• Quadrado 5: 5 unidades, abaixo.
• Quadrado 6: 8 unidades, ao lado — o retângulo agora é 13 × 8.

Olhe para o retângulo que você formou depois de seis quadrados: 13 por 8. Divida: 1,625. Depois do sétimo seria 21 por 13, 1,615. O retângulo está se transformando em um retângulo áureo — a única forma que, quando você corta um quadrado de uma ponta, deixa um retângulo menor exatamente com as mesmas proporções. Essa propriedade é toda a razão pela qual a proporção importa no design: é a única proporção que sobrevive à própria subdivisão.

De onde vem a espiral

Agora pegue um compasso. Em cada quadrado, desenhe um quarto de círculo de um canto ao canto oposto, escolhendo os cantos de modo que cada arco continue o anterior. A curva que aparece, atravessando os seis quadrados, é a espiral áurea. Ninguém a desenhou; ela saiu dos quadrados. Ela se aperta em direção a um ponto que nunca alcança — o “olho” da espiral, que em um retângulo áureo fica no cruzamento das duas diagonais — e a cada quarto de volta é 1,618 vezes mais larga do que na anterior.

É desta imagem que a maior parte do meu trabalho parte. The Sovereign Ledger é o desenho com tudo deixado dentro: seis quadrados, os números nas margens, os arcos, as linhas pautadas. The Celestial Blueprint enche os mesmos quadrados de relojoaria. The Tectonic Fibonacci separa os quadrados como se fossem placas de pedra e deixa a espiral mantê-los juntos. Em cada caso a sequência é o tema; o quadro é o que se constrói sobre ela.

Por que as plantas contam em Fibonacci

A sequência seria um brinquedo de matemático se não continuasse aparecendo nos jardins. Corte um abacaxi e conte as fileiras diagonais de escamas: 8 em um sentido, 13 no outro. Uma pinha: 8 e 13, ou 5 e 8. Um girassol: 34 e 55. As contagens de pétalas seguem 3, 5, 8, 13, 21. Isso não é coincidência nem misticismo; é empacotamento. Uma planta acrescenta cada nova folha ou semente a um ângulo fixo em relação à anterior, e o ângulo que as empacota sem deixar vãos é 137,5 graus — uma volta completa dividida pela proporção áurea. Coloque pontos nesse ângulo e as espirais que seu olho encontra no resultado sempre vêm em pares de Fibonacci. The Sovereign Garden é essa regra transformada em quadro.

Usando em uma impressão

A construção escala. Se você quer que uma impressão construída sobre a sequência caiba em uma parede real, escolha a unidade de modo que o quadrado de 8 unidades caiba no espaço. Uma impressão de 100 cm de largura com um layout 13 × 8 tem uma unidade de cerca de 7,7 cm; o maior quadrado tem 62 cm, o menor menos de 8. É mais ou menos assim que as obras daqui são dispostas, e é por isso que o olho encontra nelas um ponto de repouso a cerca de 38 por cento de uma borda — a seção áurea da largura — em vez de bem no centro. Se quiser conferir qualquer uma delas, imprima a página, ponha uma régua no maior quadrado e no seguinte, e divida. Você vai obter 1,6 e pouco.

Isso é tudo. Uma regra que se diz em um fôlego, um desenho que se faz em cinco minutos, uma proporção que se mantém enquanto cresce, e uma razão — o empacotamento — pela qual os seres vivos chegam a ela sem que ninguém lhes diga. Todo o resto deste site é construído sobre esses seis quadrados.