La sequenza di Fibonacci, spiegata in sei quadrati.

La sequenza e da dove viene

La sequenza di Fibonacci è 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 e così via all’infinito. La regola è la più semplice che ci sia: ogni numero è la somma dei due che lo precedono. Leonardo da Pisa — detto Fibonacci, «figlio di Bonacci» — la pubblicò nel 1202 in un libro di aritmetica, come risposta a un indovinello su quanto in fretta si sarebbe moltiplicata una coppia di conigli. L’indovinello è sciocco; la sequenza si è rivelata tutt’altro. Gli studiosi indiani la conoscevano già secoli prima dai ritmi della poesia sanscrita, che è una storia delle origini migliore, ma il nome è rimasto.

Ciò che rende la sequenza più di una curiosità è quello che succede quando dividi ogni numero per quello che lo precede. 3 ÷ 2 fa 1,5. 5 ÷ 3 fa 1,667. 8 ÷ 5 fa 1,6. 13 ÷ 8 fa 1,625. 21 ÷ 13 fa 1,615. I risultati oscillano avanti e indietro, ogni volta più vicini, attorno a un unico valore: 1,618, la sezione aurea. La sequenza è la proporzione che arriva in numeri interi. Vai abbastanza avanti e la differenza è più piccola di quanto qualsiasi righello possa mostrare.

Disegnarla: sei quadrati

Prendi un foglio di carta e disegna un quadratino — chiama il suo lato un’unità; un centimetro va bene. Disegna un secondo quadrato della stessa misura subito accanto. Insieme formano un rettangolo largo due unità e alto una. Ora disegna un quadrato sul lato lungo di quel rettangolo: due unità di lato. Hai un rettangolo tre per due. Disegna un quadrato sul suo lato lungo, tre unità; poi cinque; poi otto. Ogni nuovo quadrato si appoggia al lato lungo di tutto ciò che hai disegnato finora, e il suo lato è sempre la somma dei due quadrati precedenti. Questa è la sequenza, disegnata invece che scritta.

• Quadrato 1: 1 unità. Quadrato 2: 1 unità, accanto.
• Quadrato 3: 2 unità, sopra la coppia.
• Quadrato 4: 3 unità, di lato.
• Quadrato 5: 5 unità, sotto.
• Quadrato 6: 8 unità, di lato — il rettangolo è ora 13 × 8.

Guarda il rettangolo che hai ottenuto dopo sei quadrati: 13 per 8. Dividi: 1,625. Dopo il settimo sarebbe 21 per 13, 1,615. Il rettangolo sta diventando un rettangolo aureo — l’unica forma che, quando ritagli un quadrato a un’estremità, lascia un rettangolo più piccolo esattamente delle stesse proporzioni. Quella proprietà è l’intera ragione per cui la proporzione conta nel design: è l’unica proporzione che sopravvive alla propria suddivisione.

Da dove viene la spirale

Ora prendi un compasso. In ogni quadrato traccia un quarto di cerchio da un angolo all’angolo opposto, scegliendo gli angoli in modo che ogni arco continui il precedente. La curva che compare, attraversando tutti e sei i quadrati, è la spirale aurea. Nessuno l’ha disegnata; è uscita dai quadrati. Si stringe verso un punto che non raggiunge mai — l’«occhio» della spirale, che in un rettangolo aureo sta all’incrocio delle due diagonali — e a ogni quarto di giro è 1,618 volte più larga di quello precedente.

Questa è l’immagine da cui parte la maggior parte del mio lavoro. The Sovereign Ledger è il disegno con tutto lasciato dentro: sei quadrati, i numeri ai margini, gli archi, le linee rigate. The Celestial Blueprint riempie gli stessi quadrati di ingranaggi. The Tectonic Fibonacci separa i quadrati come se fossero lastre di pietra e lascia che sia la spirale a tenerli insieme. In ogni caso la sequenza è il soggetto; l’immagine è ciò che vi si costruisce sopra.

Perché le piante contano in Fibonacci

La sequenza sarebbe un giocattolo da matematici se non continuasse a spuntare nei giardini. Taglia un ananas e conta le file diagonali di scaglie: 8 in un senso, 13 nell’altro. Una pigna: 8 e 13, oppure 5 e 8. Un girasole: 34 e 55. I petali si contano in 3, 5, 8, 13, 21. Non è coincidenza e non è misticismo; è impacchettamento. Una pianta aggiunge ogni nuova foglia o seme a un angolo fisso rispetto al precedente, e l’angolo che li impacchetta senza lasciare vuoti è 137,5 gradi — un giro completo diviso per la sezione aurea. Disponi dei punti a quell’angolo e le spirali che l’occhio trova nel risultato arrivano sempre in coppie di Fibonacci. The Sovereign Garden è quella regola trasformata in immagine.

Usarla in una stampa

La costruzione si scala. Se vuoi che una stampa costruita sulla sequenza stia su una parete vera, scegli l’unità in modo che il quadrato da otto entri nello spazio. Una stampa larga 100 cm con una disposizione 13 × 8 ha un’unità di circa 7,7 cm; il quadrato più grande è 62 cm, il più piccolo sotto gli 8. È più o meno così che sono impostate le opere qui, ed è per questo che l’occhio vi trova un punto di riposo a circa il 38 per cento da un bordo — la sezione aurea della larghezza — anziché esattamente al centro. Se vuoi verificarne una, stampa la pagina, misura con un righello il quadrato più grande e quello successivo, e dividi. Otterrai 1,6 e qualcosa.

Ecco tutto. Una regola che si dice in un respiro, un disegno che si fa in cinque minuti, una proporzione che si conserva mentre cresce, e una ragione — l’impacchettamento — per cui gli esseri viventi ci arrivano senza che nessuno glielo dica. Tutto il resto di questo sito è costruito su quei sei quadrati.