Die Fibonacci-Folge, erklärt in sechs Quadraten.

Die Folge und woher sie kam

Die Fibonacci-Folge lautet 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 und so weiter, ohne Ende. Die Regel ist die einfachste, die es gibt: Jede Zahl ist die Summe der beiden davor. Leonardo von Pisa — genannt Fibonacci, „Sohn des Bonacci“ — veröffentlichte sie 1202 in einem Buch über Rechenkunst, als Antwort auf ein Rätsel darüber, wie schnell sich ein Kaninchenpaar vermehrt. Das Rätsel ist albern; die Folge erwies sich als alles andere. Indische Gelehrte kannten sie Jahrhunderte früher aus den Rhythmen der Sanskrit-Dichtung, was die bessere Herkunftsgeschichte ist, aber der Name blieb hängen.

Was die Folge zu mehr als einer Kuriosität macht, zeigt sich, wenn man jede Zahl durch die davor teilt. 3 ÷ 2 ist 1,5. 5 ÷ 3 ist 1,667. 8 ÷ 5 ist 1,6. 13 ÷ 8 ist 1,625. 21 ÷ 13 ist 1,615. Die Ergebnisse pendeln hin und her, jedes Mal enger, um einen einzigen Wert: 1,618, den Goldenen Schnitt. Die Folge ist das Verhältnis, das in ganzen Zahlen ankommt. Geht man weit genug, ist der Unterschied kleiner, als irgendein Lineal anzeigen kann.

Zeichnen: sechs Quadrate

Nehmen Sie ein Blatt Papier und zeichnen Sie ein kleines Quadrat — nennen Sie seine Seite eine Einheit; ein Zentimeter genügt. Zeichnen Sie direkt daneben ein zweites Quadrat derselben Größe. Zusammen bilden sie ein Rechteck, zwei Einheiten breit und eine hoch. Zeichnen Sie nun ein Quadrat an die lange Seite dieses Rechtecks: zwei Einheiten Seitenlänge. Sie haben ein Rechteck von drei mal zwei. Zeichnen Sie ein Quadrat an seine lange Seite, drei Einheiten; dann fünf; dann acht. Jedes neue Quadrat legt sich an die lange Seite von allem bisher Gezeichneten, und seine Seite ist immer die Summe der beiden Quadrate davor. Das ist die Folge, gezeichnet statt geschrieben.

• Quadrat 1: 1 Einheit. Quadrat 2: 1 Einheit, daneben.
• Quadrat 3: 2 Einheiten, oben auf dem Paar.
• Quadrat 4: 3 Einheiten, zur Seite.
• Quadrat 5: 5 Einheiten, darunter.
• Quadrat 6: 8 Einheiten, zur Seite — das Rechteck ist jetzt 13 × 8.

Sehen Sie sich das Rechteck an, das Sie nach sechs Quadraten haben: 13 mal 8. Geteilt: 1,625. Nach dem siebten wäre es 21 mal 13, 1,615. Das Rechteck wird zu einem goldenen Rechteck — der einen Form, die, wenn man an einem Ende ein Quadrat abschneidet, ein kleineres Rechteck von genau denselben Proportionen übrig lässt. Diese Eigenschaft ist der ganze Grund, warum das Verhältnis in der Gestaltung zählt: Es ist die einzige Proportion, die ihre eigene Unterteilung überlebt.

Woher die Spirale kommt

Nehmen Sie jetzt einen Zirkel. Zeichnen Sie in jedes Quadrat einen Viertelkreis von einer Ecke zur gegenüberliegenden, und wählen Sie die Ecken so, dass jeder Bogen den vorigen fortsetzt. Die Kurve, die erscheint und durch alle sechs Quadrate läuft, ist die Goldene Spirale. Niemand hat sie gezeichnet; sie ist aus den Quadraten herausgefallen. Sie zieht sich zu einem Punkt zusammen, den sie nie erreicht — das „Auge“ der Spirale, das in einem goldenen Rechteck im Schnittpunkt der beiden Diagonalen liegt — und mit jeder Vierteldrehung ist sie 1,618-mal so weit wie zuvor.

Das ist das Bild, von dem die meisten meiner Werke ausgehen. The Sovereign Ledger ist die Zeichnung, in der alles stehen geblieben ist: sechs Quadrate, die Zahlen am Rand, die Bögen, die Hilfslinien. The Celestial Blueprint füllt dieselben Quadrate mit Uhrwerk. The Tectonic Fibonacci zieht die Quadrate auseinander, als wären sie Steinplatten, und lässt die Spirale sie zusammenhalten. In jedem Fall ist die Folge das Motiv; das Bild ist das, was darauf gebaut wird.

Warum Pflanzen in Fibonacci zählen

Die Folge wäre ein Spielzeug für Mathematiker, wenn sie nicht ständig in Gärten auftauchte. Schneiden Sie eine Ananas auf und zählen Sie die diagonalen Reihen der Schuppen: 8 in die eine Richtung, 13 in die andere. Ein Kiefernzapfen: 8 und 13, oder 5 und 8. Eine Sonnenblume: 34 und 55. Blütenblätter kommen zu 3, 5, 8, 13, 21. Das ist kein Zufall und keine Mystik; es ist Packung. Eine Pflanze setzt jedes neue Blatt, jeden neuen Samen in einem festen Winkel zum vorigen, und der Winkel, der sie lückenlos packt, beträgt 137,5 Grad — eine volle Drehung geteilt durch den Goldenen Schnitt. Setzt man Punkte in diesem Winkel, kommen die Spiralen, die das Auge im Ergebnis findet, immer in Fibonacci-Paaren. The Sovereign Garden ist diese Regel, zum Bild gemacht.

Die Anwendung in einem Druck

Die Konstruktion lässt sich skalieren. Soll ein Druck, der auf der Folge aufbaut, an eine echte Wand passen, wählen Sie die Einheit so, dass das achte Quadrat in die Fläche passt. Ein 100 cm breiter Druck mit einer 13 × 8-Aufteilung hat eine Einheit von etwa 7,7 cm; das größte Quadrat misst 62 cm, das kleinste unter 8. Ungefähr so sind die Werke hier angelegt, und deshalb findet das Auge in ihnen einen Ruhepunkt etwa 38 Prozent von einer Kante entfernt — im Goldenen Schnitt der Breite — statt genau in der Mitte. Wenn Sie eines davon prüfen wollen, drucken Sie die Seite aus, legen Sie das Lineal an das größte Quadrat und das nächste und teilen Sie. Sie bekommen 1,6 und ein bisschen.

Das ist das Ganze. Eine Regel, die sich in einem Atemzug sagen lässt, eine Zeichnung, die in fünf Minuten fertig ist, eine Proportion, die sich beim Wachsen selbst bewahrt, und ein Grund — die Packung —, warum Lebewesen bei ihr ankommen, ohne dass es ihnen jemand gesagt hätte. Alles andere auf dieser Website ist auf diesen sechs Quadraten gebaut.