六つの正方形で解き明かす、フィボナッチ数列。

数列とその由来

フィボナッチ数列とは 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 と永遠に続く数の列です。規則はこれ以上ないほど単純です：各数は、その前の二つの数の和。ピサのレオナルド — 通称フィボナッチ、「ボナッチの息子」— は 1202 年、算術の書物の中で、一組のウサギがどれほど速く増えるかという問題の答えとしてこれを発表しました。問題は他愛のないものでしたが、数列はそうではないことがわかりました。インドの学者たちは数世紀前からサンスクリット詩の韻律を通じてこれを知っており、こちらのほうが由来としては上等なのですが、名前のほうは定着してしまいました。

この数列を単なる珍しいものではなくしているのは、各数をその前の数で割ったときに起きることです。3 ÷ 2 は 1.5。5 ÷ 3 は 1.667。8 ÷ 5 は 1.6。13 ÷ 8 は 1.625。21 ÷ 13 は 1.615。答えは一つの値 — 黄金比 1.618 — のまわりを行きつ戻りつしながら、そのたびに近づいていきます。数列とは、整数の姿で到来する黄金比なのです。十分に先まで進めば、その差はどんな定規でも示せないほど小さくなります。

描いてみる：六つの正方形

一枚の紙を用意して、小さな正方形を描いてください — その一辺を 1 単位と呼びます。1 センチで十分です。そのすぐ隣に同じ大きさの正方形をもう一つ描きます。二つ合わせると、幅 2 単位、高さ 1 単位の長方形になります。次に、その長方形の長辺に正方形を描きます：一辺 2 単位。これで 3 × 2 の長方形になりました。その長辺に正方形を描きます、3 単位。次に 5、次に 8。新しい正方形はそれぞれ、それまでに描いたすべての長辺に接して置かれ、その一辺は常にその前の二つの正方形の和です。これが、書く代わりに描かれた数列です。

• 正方形 1：1 単位。正方形 2：1 単位、その隣に。
• 正方形 3：2 単位、二つの上に。
• 正方形 4：3 単位、横に。
• 正方形 5：5 単位、下に。
• 正方形 6：8 単位、横に — 長方形はいま 13 × 8 です。

六つの正方形を描いた後にできた長方形を見てください：13 × 8。割ると 1.625。七つ目の後なら 21 × 13、1.615。長方形は黄金長方形になりつつあります — 一端から正方形を切り取ると、まったく同じ比率のより小さな長方形が残る、唯一の形です。この性質こそ、デザインにおいてこの比率が重要である理由のすべてです：自らの分割を生き延びる唯一の比率なのです。

螺旋はどこから来るのか

今度はコンパスを手に取ってください。各正方形の中に、一つの角から対角の角へと四分の一円を描きます。角の選び方は、各弧が前の弧の続きになるように。六つの正方形すべてを通って現れる曲線が黄金螺旋です。誰も描いてはいません。正方形からこぼれ落ちてきたのです。それは決して到達しない一点に向かって締まっていき — 螺旋の「目」と呼ばれ、黄金長方形では二本の対角線の交点にあります — そして四分の一回転ごとに、前より 1.618 倍広がります。

これが、私の作品の多くが出発する絵です。The Sovereign Ledger は、すべてを残したままのその図面です：六つの正方形、余白の数字、弧、罫線。The Celestial Blueprint は同じ正方形を時計仕掛けで満たします。The Tectonic Fibonacci は正方形を石の板であるかのように引き離し、螺旋にそれらをつなぎとめさせます。いずれの場合も数列が主題であり、絵はその上に築かれたものです。

なぜ植物はフィボナッチで数えるのか

庭に繰り返し現れるのでなければ、この数列は数学者の玩具に過ぎなかったでしょう。パイナップルを切って鱗の斜めの列を数えてみてください：一方向に 8、もう一方向に 13。松ぼっくりは 8 と 13、あるいは 5 と 8。ヒマワリは 34 と 55。花弁の数は 3、5、8、13、21 と並びます。これは偶然でも神秘でもなく、詰め込みの問題です。植物は新しい葉や種を、前のものから一定の角度だけ回った位置に加えていきます。隙間なく詰め込める角度は 137.5 度 — 一回転を黄金比で割ったものです。その角度で点を置いていくと、その結果の中に目が見つける螺旋は、常にフィボナッチの対になります。The Sovereign Garden は、その規則を絵にしたものです。

プリントに使う

この構成は拡大縮小できます。数列の上に構築されたプリントを実際の壁に合わせたいなら、8 単位の正方形がその空間に収まるように単位を選んでください。13 × 8 のレイアウトで幅 100 cm のプリントなら、単位はおよそ 7.7 cm。最大の正方形は 62 cm、最小は 8 cm 未満です。ここにある作品はおおよそそのように配置されており、だからこそ目は、ど真ん中ではなく一方の縁からおよそ 38 パーセント — 幅の黄金分割 — の位置に落ち着き場所を見つけるのです。どれかを確かめたければ、ページをプリントし、最大の正方形とその次の正方形に定規を当てて割ってみてください。1.6 と少しになるはずです。

これがすべてです。一息で言える規則、五分で描ける図面、成長しながら自らを保つ比率、そして生き物が教えられることなくそこに至る理由 — 詰め込み。このサイトにある他のすべては、その六つの正方形の上に築かれています。