黄金螺旋とフィボナッチ螺旋：同じ曲線ではありません。

螺旋を描く二つの方法

フィボナッチ螺旋は誰もが見たことのある図です。正方形をひとつ描き、同じ大きさのものを隣に置き、その二つに一辺2の正方形を当て、次に3、5、8、13、21——新しい正方形は必ず、その前の二つを足した長さ——そして各正方形の中に、角から角へ四分円を引く。定規とコンパスと十分ほどで描けるからこそ、あらゆる教科書とムードボードに載っています。上の二つ目の図がその作図で、継ぎ目に印を付けてあります。

黄金螺旋は描くものではなく、計算するものです。四分の一回転ごとにきっかりφ = 1.618倍に広がる対数螺旋で、r = a·φ^(2θ/π) と書きます。コンパスでは描けません。半径がどんな短い区間でも一定にならないからです。曲線はあらゆる点で締まり続け、その締まる速さだけが一定である。上の一つ目の図がその曲線で、式から黄金長方形の中に描き、極で交わる二本の対角線を添えてあります。

一見すると同じに見える。しかし同じではなく、その違いは些末なものではありません。描かれた曲線と、育った曲線との違いです。

どこが違うのか、測る

二つを同じ長方形に重ねると、ずれは探さなければ見えません。それが正直な絵なので、ここに載せます。

この表のうち、ほかより重要な行が三つあります。フィボナッチ螺旋の成長率は隣り合うフィボナッチ数の比の列で、φに収束はするものの、届くのは無限の先。図の大きさでは、大きな正方形の弧はわずかに丸すぎ、小さな正方形の弧はわずかに締まりすぎています。曲率は各正方形の中で一定で、辺でだけ変わる——それがつなぎ目というものです。そして終わりがある。二つの単位正方形、その先には何もない。黄金螺旋にはそのどれもありません。フィボナッチの図が目指している極限そのものです。

二つの曲線は同じ場所から来ています。1、1、2、3、5、8、13、21という数列で、隣り合う項の比がφに落ち着く。正方形は数列を目に見えるものにし、式は極限を目に見えるものにする。数列そのものが初めてなら、まずフィボナッチ数列の解説から読んで戻ってきてください。数の意味がわかると、螺旋の意味もわかります。

壁の上で、なぜ違いが効くのか

スマートフォンの画面の大きさでは二つの曲線は見分けがつかず、図解ならそれで十分です。幅一メートルになると、フィボナッチ螺旋のつなぎ目は四分の一回転ごとのかすかな調子の変化として見えてきます。線は四分円、次にひとまわり小さな四分円、そして円を見分けるのがとても得意な目は、その切り替わりを毎回小さな出来事として記録する。描かれた曲線は、描かれたものとして読まれるのです。

本物の黄金螺旋には出来事がありません。曲率が連続的に変わるので、線の上のどこも目に立ち止まれと言わない。螺旋が「落ち着く」と言われるとき、その中身の大半はこれです。だからこのサイトの作品は、コンパスの曲線ではなく計算した曲線の上に構築されています。The Golden Nautilus II は対数螺旋の上に描き、フィボナッチの正方形を足場として残してあります——上の図と同じく二つの曲線を並べ、定規で作図を確かめられるように。The Sovereign Ledger も同じことをノートの流儀で、数字を紙面に残したまま行っています。

同じ区別で、オウムガイの問題も片づきます。あの殻は滑らかな対数螺旋で、だから正しく見える。けれど一回転あたりの成長は6.85倍ではなく約3倍なので、黄金螺旋ではなく、ましてフィボナッチ螺旋でもありません。これはオウムガイの殻は本当に黄金螺旋か？で別に測っています。

どちらを使うべきか