Espiral áurea e espiral de Fibonacci: não são a mesma curva.

Duas maneiras de desenhar uma espiral

A espiral de Fibonacci é a que toda a gente já viu. Desenha-se um quadrado, põe-se outro do mesmo tamanho ao lado, depois um quadrado de lado 2 encostado ao par, depois 3, 5, 8, 13, 21 — cada quadrado novo tão comprido como os dois anteriores juntos — e faz-se passar por cada quadrado um quarto de círculo, de canto a canto. Bastam régua, compasso e uns dez minutos, e é por isso que está em todos os manuais e em todos os moodboards. O segundo desenho acima é essa construção, com as junções marcadas.

A espiral áurea não se desenha; calcula-se. É a espiral logarítmica que cresce exatamente φ = 1,618 a cada quarto de volta, escrita r = a·φ^(2θ/π). Nenhum compasso a produz, porque o seu raio nunca é constante, nem no troço mais curto: a curva aperta-se em cada ponto, e o ritmo a que se aperta é, ele próprio, constante. O primeiro desenho acima é essa curva, traçada a partir da fórmula dentro de um retângulo áureo, com as duas diagonais que se cruzam no seu polo.

À primeira vista parecem iguais. Não são, e a diferença não é pedantismo: é a diferença entre uma curva que se desenha e uma curva que cresce.

Onde diferem, medido

Postas no mesmo retângulo, a distância entre elas só se vê se a procurarmos. É a imagem honesta, por isso aqui está.

Três linhas dessa tabela importam mais do que o resto. O crescimento da espiral de Fibonacci é uma lista de razões entre números de Fibonacci vizinhos, e a lista converge para φ mas só o atinge no infinito; à escala de um desenho, os arcos são uma fração redondos demais nos quadrados grandes e uma fração apertados demais nos pequenos. A sua curvatura é constante dentro de cada quadrado e só muda nas arestas, e é exatamente isso uma emenda. E tem um fim: dois quadrados unitários, e depois nada. A espiral áurea não tem nada disto. É o limite para que o desenho de Fibonacci tende.

As duas curvas vêm do mesmo lugar — a sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, cujas razões entre termos vizinhos se fixam em φ. Os quadrados tornam a sequência visível; a fórmula torna o limite visível. Se a própria sequência for nova para si, comece por a sequência de Fibonacci explicada e volte: as espirais fazem mais sentido quando os números fazem.

Por que a diferença importa numa parede

No tamanho do ecrã de um telemóvel não se distinguem as curvas, e para um diagrama isso chega. Com um metro de largura, as emendas de uma espiral de Fibonacci veem-se como ligeiras mudanças de ritmo a cada quarto de volta: a linha é um quarto de círculo, depois um quarto de círculo mais pequeno, e o olho, que reconhece muito bem os círculos, regista cada mudança como um pequeno acontecimento. Uma curva desenhada lê-se como um desenho.

Uma verdadeira espiral áurea não tem acontecimentos. A sua curvatura muda continuamente, por isso nada na linha pede ao olho que pare, e é sobretudo isso que se quer dizer quando se chama serena a uma espiral. É por isso que as obras deste site são construídas sobre a curva calculada, não sobre a do compasso. The Golden Nautilus II é desenhada sobre a espiral logarítmica com os quadrados de Fibonacci deixados à vista como andaime — as duas curvas lado a lado, como na figura acima, para que a construção possa ser verificada com uma régua. The Sovereign Ledger faz o mesmo à maneira de um caderno, com os números na página.

A mesma distinção resolve a questão do náutilo. A concha é uma espiral logarítmica lisa, e é por isso que parece certa; mas cresce cerca de 3 por volta em vez de 6,85, portanto não é uma espiral áurea, e certamente não é uma de Fibonacci. Medi isso à parte em A concha do náutilo é mesmo uma espiral áurea?

Qual usar?