La conchiglia del nautilus è davvero una spirale aurea?

Due spirali che si assomigliano

Una spirale è «logaritmica» quando cresce dello stesso fattore a ogni giro: quello che la curva fa in un quarto di giro, lo rifà nel successivo, solo più in grande. Tutte le spirali logaritmiche si assomigliano a colpo d’occhio, come tutti i cerchi. Ciò che le distingue è il fattore di crescita — di quanto la curva si allarga a ogni giro. Un fattore stretto dà una spira come la molla di un orologio; uno grande si apre in fretta e sembra un’onda.

La spirale aurea è una spirale logaritmica precisa: cresce della sezione aurea, 1,618, a ogni quarto di giro. Questo la rende circa 6,85 volte più larga a ogni giro completo. Puoi disegnarla senza alcuna formula impilando quadrati di Fibonacci — 1, 1, 2, 3, 5, 8 — e facendo passare un quarto di cerchio in ciascuno. The Sovereign Ledger è esattamente quel disegno, con i quadrati e i numeri lasciati sulla pagina.

Cosa fa davvero il nautilus

Anche il nautilus cresce di un fattore costante, quindi è una vera spirale logaritmica — quella parte della storia è giusta. Ma quando misuri conchiglie vere, le camere si aprono di un fattore di circa 3 per giro completo, non 6,85. Per quarto di giro fa circa 1,3, non 1,618. La conchiglia cresce più lentamente della spirale aurea, e se sovrapponi una spirale aurea alla fotografia di un nautilus, le due curve si allontanano nel giro di una sola rotazione. Le famose immagini con la sovrapposizione usano o una spirale che non è aurea o una conchiglia stirata per farla combaciare.

C’è un’affermazione più blanda che regge: il nautilus è vicino a una spirale che cresce di 1,618 ogni mezzo giro anziché ogni quarto di giro. Quella spirale si apre di circa 2,6 per giro, che è vicino al 3 misurato. Quindi la conchiglia è «aurea» in senso lato — una spirale logaritmica della stessa famiglia — ma non la spirale aurea da manuale, e la proporzione in sé non è scritta nell’animale.

Perché la conchiglia cresce proprio così

La ragione non è la matematica ma l’animale. Un nautilus costruisce la sua conchiglia una camera alla volta, e ogni camera deve avere la stessa forma della precedente, solo più grande, perché la creatura all’interno mantiene le sue proporzioni mentre cresce. Crescita costante più forma costante danno automaticamente una spirale logaritmica; non c’è altra curva che lo faccia. Il fattore di crescita è semplicemente quanto in fretta cresce un nautilus rispetto a quanto in fretta gira. Niente in questo richiede 1,618, e la conchiglia non lo produce.

Lo stesso vale per le corna dell’ariete, il ricciolo della coda di un camaleonte e i bracci di alcune galassie: tutte logaritmiche, tutte con il proprio fattore di crescita, nessuna aurea. Le galassie in particolare vengono citate di continuo e sono quelle che si adattano peggio — i loro bracci si aprono da tre a dieci volte per giro a seconda della galassia, e non sono nemmeno vere spirali in senso matematico.

Dove vive davvero la proporzione in natura

Se il nautilus è l’esempio sbagliato, il girasole è quello giusto. Guarda il capolino e vedrai due insiemi di spirali che corrono in direzioni opposte. Contale: i capolini tipici ne mostrano 34 in un senso e 55 nell’altro, oppure 55 e 89 — sempre due numeri di Fibonacci consecutivi. Le pigne mostrano 8 e 13, gli ananas 8 e 13 oppure 13 e 21. Non è approssimativo; è esatto, ed è lo stesso in quasi ogni esemplare.

La causa è l’impacchettamento. Una pianta colloca ogni nuovo seme o scaglia a un angolo fisso rispetto al precedente. Se quell’angolo fosse una frazione semplice di giro, i semi si allineerebbero in file dritte e sprecherebbero spazio. L’angolo che evita ogni frazione semplice è quello che divide il cerchio per la sezione aurea: 137,5 gradi, l’angolo aureo. I semi disposti a quell’angolo si impacchettano nel modo più fitto, e le spirali che l’occhio individua nel disegno arrivano in coppie di Fibonacci come effetto collaterale. The Sunflower Compass è costruita su questa regola anziché sulla conchiglia, ed è per questo il pezzo di geometria più onesto.

Allora perché disegnare la conchiglia?

Perché la conchiglia è il punto in cui le persone incontrano l’idea, e perché a un artista è concesso disegnare la conchiglia come sarebbe se obbedisse. Le mie opere con il nautilus non sono ritratti di un esemplare; sono la conchiglia costruita dalla costruzione verso l’esterno — prima i quadrati, poi la spirale per i loro angoli, poi le camere riempite. The Golden Nautilus II e Nautilus Prime sono quell’animale idealizzato, e lasciano visibile l’impalcatura perché nessuno debba prenderla sulla fiducia. Metti un righello sulla stampa e la proporzione è lì.

Questa è la posizione onesta: la sezione aurea è reale, il suo posto nelle piante è esatto, il suo posto nelle conchiglie è approssimato, e il suo posto nell’arte è una scelta. Io la faccio alla luce del sole.