La sezione aurea nella musica: Bartók, Debussy, la tastiera e la stanza.

L’unico esempio che regge

Musica per archi, percussioni e celesta di Béla Bartók si apre con una fuga di 89 battute. Comincia pianissimo, cresce in un unico lungo arco fino a un solo fortissimo alla battuta 55 e si spegne nelle 34 battute restanti. 55 e 89 sono numeri di Fibonacci consecutivi, 34 è quello che li precede, e 55 ÷ 89 = 0,618. L’analista ungherese Ernő Lendvai lo notò negli anni Cinquanta e proseguì trovando la stessa proporzione negli ingressi del movimento, nei suoi cambi di tonalità e nel numero di battute tra l’uno e l’altro, e poi in quasi tutta la musica matura di Bartók.

Due cose sono vere insieme. Il culmine alla battuta 55 è reale, udibile ed esattamente dove il rapporto lo colloca; e il sistema più ampio di Lendvai — in cui quasi ogni dimensione della musica di Bartók è aurea — è un’analisi che Bartók non confermò mai, che conta le battute nel modo che fa tornare i numeri, e che studiosi successivi hanno smontato con una certa cura. Bartók non lasciò alcuna nota che dicesse di aver usato il rapporto. Lasciò un pezzo il cui unico grande vertice sta a 0,618 della sua lunghezza: o una decisione, o la migliore coincidenza della musica del Novecento. Io penso che sia una decisione, e non ci scommetterei la casa.

Debussy, che forse lo fece di proposito

L’altro caso serio è Claude Debussy. Il pianista e studioso Roy Howat ha misurato le proporzioni di La Mer, Reflets dans l’eau e L’isle joyeuse e ha trovato la sezione aurea alle loro svolte strutturali — il ritorno di un tema, il momento in cui la tessitura si rompe — spesso alla battuta esatta, e numeri di Fibonacci nel conteggio delle battute delle sezioni intermedie. Debussy, a differenza di Bartók, lasciò un indizio: una lettera su una correzione di bozze in cui obietta che una battuta mancante rovinerebbe «il numero divino». È una frase sola, ed è più di quanto abbia chiunque altro.

Oltre questi due il terreno si fa molle in fretta. Ci sono analisi delle sonate di Mozart che trovano esposizione e sviluppo divisi vicino alla sezione aurea; misurati su tutte, i rapporti si spargono da 0,5 a 0,7 e si addensano dove la forma-sonata li metterebbe comunque. Bach, Beethoven e Chopin sono stati tutti rivendicati, nessuno in modo convincente. La prova è la stessa di un dipinto: se per far tornare il numero bisogna contare ogni volta da una battuta diversa, il numero è vostro, non del compositore.

La tastiera, che conta in Fibonacci per caso

Un’ottava sul pianoforte ha 8 tasti bianchi e 5 neri, i neri in un gruppo di 2 e uno di 3; contando l’ottava a entrambe le estremità sono 13 tasti. 2, 3, 5, 8, 13: la successione c’è, ed è su ogni poster sull’argomento. Ed è anche un caso. I numeri vengono dal temperamento equabile a dodici toni su cui la musica occidentale si assestò nel Settecento — dodici semitoni per ottava perché dodici è il numero più piccolo che fa uscire quinte e terze quasi pure — e dal fatto che la scala diatonica ha sette note, così che i dodici si dividono in 7 bianchi e 5 neri. A tredici si arriva solo contando due volte il Do superiore. La tastiera è Fibonacci come lo è una coincidenza: esattamente, e senza motivo.

Gli intervalli, e l’intervallo che non c’è

Qui la storia diventa interessante per la ragione opposta. La consonanza musicale nasce da rapporti di frequenza semplici: l’ottava è 2 : 1, la quinta 3 : 2, la quarta 4 : 3, la sesta maggiore 5 : 3, la sesta minore 8 : 5. Due di questi — 5 : 3 = 1,667 e 8 : 5 = 1,6 — sono rapporti tra numeri di Fibonacci vicini, ed è per questo che si dice che le seste siano auree. Incorniciano φ; nessuna delle due lo è. E l’intervallo che è davvero φ, un rapporto di frequenze di 1,618, circa 833 cent, nella scala non c’è affatto, perché φ è il numero più irrazionale che esista — il più difficile da approssimare con una frazione semplice — e un intervallo che nessuna frazione semplice approssima è, per l’orecchio, il meno consonante possibile. La sezione aurea non è un’armonia. È la precisa assenza di una.

È utile saperlo, perché traccia il confine di cui il resto dell’argomento ha bisogno. Dove il rapporto compare nella musica, compare nel tempo — dove cade il culmine, dove una sezione svolta — non nell’altezza. La proporzione è questione di forma. L’armonia è questione di piccoli numeri interi. Sono due matematiche diverse, e solo la prima è aurea.

La stanza

Il luogo in cui il rapporto fa un lavoro onesto nella musica ogni giorno è la stanza in cui la musica si suona. Una stanza rettangolare ha risonanze a frequenze fissate dalle sue tre dimensioni, e se le dimensioni stanno in rapporti semplici — un cubo, o 1 : 2 : 4 — le risonanze si ammucchiano sulle stesse note e la stanza rimbomba su alcune altezze e ne inghiotte altre. Dimensioni in rapporti irrazionali distribuiscono le risonanze in modo uniforme, e 1 : 1,618 : 2,618 — altezza, larghezza, lunghezza, ciascuna la sezione aurea della precedente — è una delle raccomandazioni classiche per uno studio o una sala d’ascolto, accanto a poche altre trovate per tentativi. Funziona per la stessa ragione per cui l’intervallo aureo suona male: φ è il numero che impedisce alle cose di allinearsi.

È anche per questo che gli strumenti di questo sito sono disegnati come sono. The Celestial Grand Piano, The Ethereal Golden Harp e The Golden Saxophone sono blueprint — lo strumento impostato sulla griglia, la spirale attraverso il suo corpo, la proporzione nel progetto anziché rivendicata per il suono. Una stanza della musica è un buon posto per questo genere di immagine: la parete si prende la geometria e l’aria si tiene l’armonia, che è la giusta divisione del lavoro.