音楽における黄金比：バルトーク、ドビュッシー、鍵盤、そして部屋。

持ちこたえる唯一の例

ベーラ・バルトークの『弦楽器、打楽器とチェレスタのための音楽』は89小節のフーガで始まります。ピアニッシモで始まり、ひとつの長い弧を描いて55小節目のただ一度のフォルティッシモへ上りつめ、残る34小節で消えていく。55と89は連続するフィボナッチ数、34はその前の数、そして 55 ÷ 89 = 0.618。ハンガリーの分析家エルネー・レンドヴァイは1950年代にこれに気づき、続いて楽章の各声部の入り、調の変化、それらの間の小節数にも同じ比率を見つけ、やがてバルトークの円熟期の音楽の大半にそれを見出しました。

二つのことが同時に真実です。55小節目の頂点は本物で、耳に聞こえ、比率の言うとおりの場所にある。一方、バルトークの音楽のほぼすべての次元が黄金であるとするレンドヴァイの大きな体系は、バルトーク自身が認めたことのない分析で、数が合うように小節の数え方を変えており、後の研究者たちが丁寧に解体しています。バルトークはこの比を使ったというメモを残していません。残したのは、唯一の大きな頂点が全長の0.618の位置にある曲——決定か、さもなければ二十世紀音楽最高の偶然です。私は決定だと思っていますが、家を賭けるほどではありません。

ドビュッシー——意図的だったかもしれない人

もうひとつの真面目な事例はクロード・ドビュッシーです。ピアニストで研究者のロイ・ハワットは『海』『水の反映』『喜びの島』の比率を測り、構造の転換点——主題の回帰、テクスチュアが途切れる瞬間——に、しばしば小節単位で正確に黄金分割を見出し、その間の各セクションの小節数にフィボナッチ数を見つけました。ドビュッシーはバルトークと違い、手がかりを残しています。校正についての手紙で、小節がひとつ欠けると「神聖な数」が台無しになると異議を唱えているのです。一文だけですが、ほかの誰が持っているものより多い。

この二人を超えると、地面はすぐに柔らかくなります。モーツァルトのソナタで提示部と展開部が黄金分割点近くで分かれているとする分析がありますが、全曲で測ると比は0.5から0.7に散らばり、ソナタ形式がもともと置くであろう場所に集まります。バッハ、ベートーヴェン、ショパンも主張されてきましたが、説得力のあるものはありません。判定法は絵画と同じです。数を合わせるために毎回別の小節から数え始めなければならないなら、その数はあなたのものであって、作曲家のものではない。

鍵盤——偶然にフィボナッチで数えるもの

ピアノの1オクターブには白鍵が8、黒鍵が5あり、黒鍵は2つと3つのグループ。オクターブを両端で数えれば13鍵です。2、3、5、8、13——数列はそこにあり、この話題のポスターには必ず載っています。そしてそれは偶然でもある。この数は、西洋音楽が十八世紀に落ち着いた十二平均律——五度と三度がほぼ純正に出る最小の数が十二だから、オクターブに十二の半音——と、全音階が七音であるために十二が白7と黒5に分かれることから来ています。十三に届くのは、上のドを二度数えたときだけ。鍵盤は偶然がそうであるように、フィボナッチです。正確に、そして理由なく。

音程、そして存在しない音程

ここで話は、逆の理由で面白くなります。音楽の協和は単純な周波数比から生まれます。オクターブは 2 : 1、五度は 3 : 2、四度は 4 : 3、長六度は 5 : 3、短六度は 8 : 5。そのうち二つ——5 : 3 = 1.667 と 8 : 5 = 1.6——は隣り合うフィボナッチ数の比で、だから六度は黄金だと言われます。二つはφを挟んでいますが、どちらもφではない。そして本当にφである音程、周波数比1.618、約833セントの音程は音階にまったく存在しません。φは存在するなかで最も無理数的な数——どんな単純な分数でも最も近似しにくい数——であり、どの単純な分数も近似しない音程は、耳にとって考えうる限り最も協和しないものだからです。黄金比は和声ではありません。和声の正確な不在なのです。

これは知っておく価値があります。この話題の残りに必要な線を引いてくれるからです。音楽にこの比が現れるとき、それは時間の中に現れる——頂点が落ちる場所、セクションが転換する場所に——のであって、音高の中ではない。比率は形式の問題。和声は小さな整数の問題。二つは異なる種類の数学で、黄金なのは前者だけです。

部屋

音楽においてこの比が日々正直に働いている場所は、音楽が演奏される部屋です。長方形の部屋は三つの寸法で決まる周波数に共鳴を持ち、寸法が単純な比——立方体や 1 : 2 : 4——だと共鳴が同じ音の上に積み重なり、部屋はある音高で唸り、別の音高を飲み込みます。無理数の比の寸法は共鳴を均等に散らし、1 : 1.618 : 2.618——高さ、幅、奥行き、それぞれが前の黄金比——は、試行で見つかった他のいくつかと並んで、スタジオやリスニングルームの古典的な推奨のひとつです。黄金の音程が悪く聞こえるのと同じ理由で、これは機能します。φは物事が揃ってしまうのを防ぐ数なのです。

このサイトの楽器がああいう描き方をされているのも、それが理由です。The Celestial Grand Piano、The Ethereal Golden Harp、The Golden Saxophone は設計図です——楽器をグリッドの上に据え、その胴体を螺旋が貫き、比率は音のために主張されるのではなく図面の中にある。音楽室はそういう絵にふさわしい場所です。壁が幾何学を受け持ち、空気が和声を保つ。それが正しい分業です。