Le nombre d’or en musique : Bartók, Debussy, le clavier et la pièce.

Le seul exemple qui tient

Musique pour cordes, percussion et célesta de Béla Bartók s’ouvre sur une fugue de 89 mesures. Elle commence pianissimo, monte en un seul long arc jusqu’à un unique fortissimo à la mesure 55, et retombe sur les 34 mesures restantes. 55 et 89 sont des nombres de Fibonacci consécutifs, 34 est celui qui les précède, et 55 ÷ 89 = 0,618. L’analyste hongrois Ernő Lendvai l’a remarqué dans les années 1950 et a ensuite retrouvé la même proportion dans les entrées du mouvement, ses changements de tonalité et le nombre de mesures entre eux, puis dans presque toute la musique de maturité de Bartók.

Deux choses sont vraies à la fois. Le sommet à la mesure 55 est réel, audible et exactement là où le rapport le place ; et le système plus vaste de Lendvai — où presque chaque dimension de la musique de Bartók est dorée — est une analyse que Bartók n’a jamais confirmée, qui compte les mesures de la façon qui fait tomber les chiffres juste, et que des chercheurs ultérieurs ont démontée avec un certain soin. Bartók n’a laissé aucune note disant qu’il utilisait le rapport. Il a laissé une pièce dont l’unique grand sommet se trouve à 0,618 de sa longueur — soit une décision, soit la plus belle coïncidence de la musique du XXe siècle. Je pense que c’est une décision, et je n’y parierais pas la maison.

Debussy, qui l’a peut-être fait exprès

L’autre cas sérieux est Claude Debussy. Le pianiste et chercheur Roy Howat a mesuré les proportions de La Mer, de Reflets dans l’eau et de L’isle joyeuse et a trouvé la section dorée à leurs tournants de structure — le retour d’un thème, l’instant où la texture se brise — souvent à la mesure près, et des nombres de Fibonacci dans le compte des mesures des sections intermédiaires. Debussy, contrairement à Bartók, a laissé un indice : une lettre au sujet d’une épreuve, où il objecte qu’une mesure manquante gâcherait « le nombre divin ». C’est une phrase, et c’est plus que ce que quiconque possède.

Au-delà de ces deux-là, le terrain devient vite mou. Des analyses des sonates de Mozart trouvent l’exposition et le développement partagés près de la section dorée ; mesurés sur l’ensemble, les rapports s’étalent de 0,5 à 0,7 et se regroupent là où la forme sonate les placerait de toute façon. Bach, Beethoven et Chopin ont tous été réclamés, aucun de manière convaincante. Le test est le même que pour un tableau : s’il faut compter à partir d’une mesure différente chaque fois pour que le chiffre tombe juste, le chiffre est le vôtre, pas celui du compositeur.

Le clavier, qui compte en Fibonacci par accident

Une octave de piano a 8 touches blanches et 5 noires, les noires en un groupe de 2 et un groupe de 3 ; en comptant l’octave aux deux bouts, cela fait 13 touches. 2, 3, 5, 8, 13 : la suite est là, et elle figure sur toutes les affiches du sujet. C’est aussi un accident. Les chiffres viennent du tempérament égal à douze tons adopté par la musique occidentale au XVIIIe siècle — douze demi-tons par octave parce que douze est le plus petit nombre qui rend quintes et tierces presque pures — et du fait que la gamme diatonique a sept notes, de sorte que les douze se partagent en 7 blanches et 5 noires. On n’atteint treize qu’en comptant deux fois le do supérieur. Le clavier est Fibonacci comme l’est une coïncidence : exactement, et sans raison.

Les intervalles, et l’intervalle qui n’existe pas

Ici l’histoire devient intéressante pour la raison inverse. La consonance musicale vient de rapports de fréquences simples : l’octave est 2 : 1, la quinte 3 : 2, la quarte 4 : 3, la sixte majeure 5 : 3, la sixte mineure 8 : 5. Deux d’entre eux — 5 : 3 = 1,667 et 8 : 5 = 1,6 — sont des rapports de nombres de Fibonacci voisins, d’où l’idée que les sixtes sont dorées. Elles encadrent φ ; aucune ne l’est. Et l’intervalle qui est réellement φ, un rapport de fréquences de 1,618, soit environ 833 cents, ne figure pas du tout dans la gamme, parce que φ est le nombre le plus irrationnel qui soit — le plus difficile à approcher par une fraction simple — et qu’un intervalle qu’aucune fraction simple n’approche est, pour l’oreille, le moins consonant possible. Le nombre d’or n’est pas une harmonie. C’est l’absence précise d’une harmonie.

C’est utile à savoir, parce que cela trace la ligne dont le reste du sujet a besoin. Là où le rapport apparaît en musique, il apparaît dans le temps — à l’endroit où tombe le sommet, où une section bascule — et non dans la hauteur. La proportion est affaire de forme. L’harmonie est affaire de petits nombres entiers. Ce sont deux mathématiques différentes, et seule la première est dorée.

La pièce

L’endroit où le rapport fait chaque jour un travail honnête en musique, c’est la pièce où on la joue. Une pièce rectangulaire a des résonances à des fréquences fixées par ses trois dimensions, et si ces dimensions sont en rapports simples — un cube, ou 1 : 2 : 4 —, les résonances s’empilent sur les mêmes notes et la pièce résonne sur certaines hauteurs et en avale d’autres. Des dimensions en rapports irrationnels répartissent les résonances uniformément, et 1 : 1,618 : 2,618 — hauteur, largeur, longueur, chacune la section dorée de la précédente — est l’une des recommandations classiques pour un studio ou une pièce d’écoute, à côté de quelques autres trouvées par essais. Cela fonctionne pour la même raison que l’intervalle d’or sonne mal : φ est le nombre qui empêche les choses de s’aligner.

C’est aussi pour cela que les instruments de ce site sont dessinés comme ils le sont. The Celestial Grand Piano, The Ethereal Golden Harp et The Golden Saxophone sont des plans — l’instrument posé sur la grille, la spirale à travers son corps, la proportion dans le tracé plutôt que revendiquée pour le son. Une pièce de musique est un bon endroit pour ce genre d’image : le mur reçoit la géométrie et l’air garde l’harmonie, ce qui est la bonne répartition des tâches.