Der Goldene Schnitt in der Musik: Bartók, Debussy, die Klaviatur und der Raum.

Das eine Beispiel, das standhält

Béla Bartóks Musik für Saiteninstrumente, Schlagzeug und Celesta beginnt mit einer Fuge von 89 Takten. Sie setzt pianissimo ein, wächst in einem einzigen langen Bogen zu einem einzigen Fortissimo in Takt 55 und fällt über die verbleibenden 34 Takte wieder ab. 55 und 89 sind aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen, 34 ist die davor, und 55 ÷ 89 = 0,618. Der ungarische Analytiker Ernő Lendvai bemerkte das in den 1950er-Jahren und fand dieselbe Proportion dann in den Einsätzen des Satzes, seinen Tonartwechseln und den Taktzahlen dazwischen — und schließlich in fast der ganzen reifen Musik Bartóks.

Zweierlei stimmt zugleich. Der Höhepunkt in Takt 55 ist real, hörbar und genau dort, wo das Verhältnis ihn hinlegt; und Lendvais größeres System — in dem fast jede Dimension von Bartóks Musik golden ist — ist eine Analyse, die Bartók nie bestätigt hat, die Takte jeweils so zählt, dass die Zahlen aufgehen, und die spätere Forscher mit einiger Sorgfalt auseinandergenommen haben. Bartók hat keine Notiz hinterlassen, dass er das Verhältnis benutzt habe. Was er hinterlassen hat, ist ein Stück, dessen einziger großer Gipfel bei 0,618 seiner Länge sitzt — entweder eine Entscheidung oder der beste Zufall der Musik des zwanzigsten Jahrhunderts. Ich halte es für eine Entscheidung, und ich würde nicht das Haus darauf verwetten.

Debussy, der es womöglich absichtlich getan hat

Der andere ernsthafte Fall ist Claude Debussy. Der Pianist und Forscher Roy Howat hat die Proportionen von La Mer, Reflets dans l’eau und L’isle joyeuse vermessen und den Goldenen Schnitt an ihren formalen Wendepunkten gefunden — bei der Wiederkehr eines Themas, in dem Moment, in dem der Satz aufbricht —, oft auf den Takt genau, und Fibonacci-Zahlen in den Taktzahlen der Abschnitte dazwischen. Debussy hat, anders als Bartók, einen Hinweis hinterlassen: einen Brief zu einer Korrekturfahne, in dem er einwendet, ein fehlender Takt würde „die göttliche Zahl“ verderben. Es ist ein einziger Satz, und es ist mehr, als irgendjemand sonst hat.

Jenseits dieser beiden wird der Boden schnell weich. Es gibt Analysen von Mozarts Sonaten, die Exposition und Durchführung nahe dem Goldenen Schnitt geteilt finden; über alle Sonaten gemessen, streuen die Verhältnisse von 0,5 bis 0,7 und sammeln sich dort, wo die Sonatenform sie ohnehin hinlegt. Bach, Beethoven und Chopin sind alle beansprucht worden, keiner überzeugend. Der Test ist derselbe wie bei einem Gemälde: Wenn man jedes Mal von einem anderen Takt aus zählen muss, damit die Zahl aufgeht, ist die Zahl die eigene, nicht die des Komponisten.

Die Klaviatur, die aus Versehen in Fibonacci zählt

Eine Oktave auf dem Klavier hat 8 weiße Tasten und 5 schwarze, die schwarzen in einer Zweier- und einer Dreiergruppe; zählt man die Oktave an beiden Enden, sind es 13 Tasten. 2, 3, 5, 8, 13: Die Folge ist da, und sie steht auf jedem Poster zum Thema. Sie ist auch ein Zufall. Die Zahlen stammen aus der zwölfstufigen gleichschwebenden Stimmung, auf die sich die westliche Musik im achtzehnten Jahrhundert festgelegt hat — zwölf Halbtöne pro Oktave, weil zwölf die kleinste Zahl ist, bei der Quinten und Terzen beinahe rein aufgehen —, und daraus, dass die diatonische Tonleiter sieben Töne hat, sodass sich die zwölf in 7 weiße und 5 schwarze teilen. Dreizehn erreicht man nur, indem man das obere C doppelt zählt. Die Klaviatur ist Fibonacci, wie ein Zufall es ist: exakt, und ohne Grund.

Intervalle, und das Intervall, das nicht da ist

Hier wird die Geschichte aus dem entgegengesetzten Grund interessant. Musikalische Konsonanz kommt aus einfachen Frequenzverhältnissen: die Oktave ist 2 : 1, die Quinte 3 : 2, die Quarte 4 : 3, die große Sexte 5 : 3, die kleine Sexte 8 : 5. Zwei davon — 5 : 3 = 1,667 und 8 : 5 = 1,6 — sind Verhältnisse benachbarter Fibonacci-Zahlen, weshalb man die Sexten golden nennt. Sie rahmen φ ein; keine von beiden ist es. Und das Intervall, das tatsächlich φ ist, ein Frequenzverhältnis von 1,618 oder etwa 833 Cent, kommt in der Tonleiter gar nicht vor — denn φ ist die irrationalste Zahl, die es gibt, die am schwersten durch einen einfachen Bruch anzunähern ist, und ein Intervall, das kein einfacher Bruch annähert, ist für das Ohr das am wenigsten konsonante überhaupt. Der Goldene Schnitt ist keine Harmonie. Er ist das genaue Fehlen einer.

Das ist nützlich zu wissen, weil es die Linie zieht, die der Rest des Themas braucht. Wo das Verhältnis in der Musik auftaucht, taucht es in der Zeit auf — dort, wo der Höhepunkt fällt, wo ein Abschnitt sich wendet —, nicht in der Tonhöhe. Proportion ist eine Sache der Form. Harmonie ist eine Sache kleiner ganzer Zahlen. Das sind zwei verschiedene Arten von Mathematik, und nur die erste ist golden.

Der Raum

Der Ort, an dem das Verhältnis in der Musik täglich ehrliche Arbeit leistet, ist der Raum, in dem sie gespielt wird. Ein rechteckiger Raum hat Resonanzen bei Frequenzen, die von seinen drei Maßen bestimmt werden, und stehen die Maße in einfachen Verhältnissen — ein Würfel, oder 1 : 2 : 4 —, häufen sich die Resonanzen auf denselben Tönen, und der Raum dröhnt bei manchen Tonhöhen und schluckt andere. Maße in irrationalen Verhältnissen verteilen die Resonanzen gleichmäßig, und 1 : 1,618 : 2,618 — Höhe, Breite, Länge, jedes der Goldene Schnitt des vorigen — ist eine der klassischen Empfehlungen für ein Studio oder einen Hörraum, neben einigen anderen, die man durch Ausprobieren gefunden hat. Es funktioniert aus demselben Grund, aus dem das goldene Intervall schlecht klingt: φ ist die Zahl, die verhindert, dass sich Dinge übereinanderlegen.

Deshalb sind auch die Instrumente auf dieser Seite so gezeichnet, wie sie sind. The Celestial Grand Piano, The Ethereal Golden Harp und The Golden Saxophone sind Blueprints — das Instrument auf dem Raster angelegt, die Spirale durch seinen Korpus, die Proportion im Plan statt für den Klang behauptet. Ein Musikzimmer ist ein guter Ort für diese Art Bild: Die Wand bekommt die Geometrie, die Luft behält die Harmonie, und das ist die richtige Arbeitsteilung.